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中考數學“幾何最值的計算”題型解析

2020-02-20  當以讀書...

幾何最值的計算是考試中的一個難點,解決此類計算一般可借助以下定理:

(1)利用軸對稱轉化為:(將兩點之間的折線轉化為兩點之間的直線段)

兩點之間的距離——兩點之間,線段最短;

(2)利用三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;

(3)利用一點到直線的距離:

垂線段最短——將點到直線的折線段轉化為點到直線的垂線段;

(4)利用特殊角度(30°,45°,60°)將成倍數的線段轉化為首尾相連的折線段,在轉化為兩點之間的直線段最短;

(5)找臨界的特殊情況,確定最大值和最小值 .

因此,在以上定理的基礎之上,關鍵在于特征的轉換,減少變量,從而快速高效率解題 .

該類問題的幾種常見模型:

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

一、兩點之間線段最短

【例題1】如圖,有 A , B , C , D 四個村莊,現準備打一口井,使得水井到四個村莊的距離之和最短,請確定水井的位置 .

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

【分析】根據線段的性質:兩點之間,線段距離最短;結合題意,要使它與四個村莊的距離之和最小,

就要使它在 AD 與 BC 的交點處 .

【解析】如圖所示,連接 AD , BC,它們的交點是 E,點 E 就是水井的位置,這一點到 A , B , C , D 四

點的距離之和最小 .

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

【解題策略】如果不在 E 點,假設在 T 點,那么根據三角形兩邊之和大于第三邊可得到:

AT + DT > AD , 且 CT + BT > CB , 于是 AT + DT + CT + BT > AD + CB .

所以水井所在位置只能在 AD 與 CB 的交點處,才能使其到四個村莊的距離之和最小 .

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

二、點到直線的距離中垂線段最短

【例題2】如圖,在 △ABC 中,點 P 為邊 AC 上一動點,若 AB = AC = 5 , BC = 6 ,

則 AP + BP + CP 的最小值是多???

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

【分析】若 AP + BP + CP 最小,就是說當 BP 最小時,AP + BP + CP 才最小,

因為無論點 P 在 AC 上的哪一點,AP + CP 都等于 AC .

那么就需要從 B 向 AC 作垂線段,交 AC 于點 P .

先設 AP = x , 再利用勾股定理可得關于 x 的方程,解即可求出 x,

在 Rt△ABP 中,利用勾股定理可求出 BP,那么 AP + BP + CP 的最小值即可求解 .

【解析】過點 B 作 BP⊥AC,垂足為 P,設 AP = x , 則 CP = 5 - x .

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

【解題策略】將一些定長的線段剔除掉,專注于去考慮變化的線段的取值,

轉化為定點到定直線的距離,再利用 “點到直線的距離中,垂線段最短” 來求解 .

三、利用軸對稱圖形

【例題3】如圖,在矩形 ABCD 中,AB = 5 , AD = 3 , 動點 P 滿足 S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD,

則點 P 到 A 、B 兩點距離之和 PA + PB 的最小值是多少?

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

【分析】首先由 S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD,得出動點 P 在與 AB 平行且與 AB 的距離是 2 的直線 l

上,作 A 關于直線 l 的對稱點 E , 連接 AE 、BE,則 BE 就是所求的最短距離.

然后在直角三角形 ABE 中,由勾股定理求得 BE 的值,即 PA + PB 的最小值 .

【解析】設 △ABP 中 AB 邊上的高是 h ,

∵ S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD,

∴ 1/2 AB ? h = 1/3 AB ? BC ,

∴ h = 2/3 BC = 2/3 × 3 = 2 .

∴ 動點 P 在與 AB 平行且與 AB 的距離是 2 的直線 l 上,如圖,作 A 關于直線 l 的對稱點 E ,

連接 AE 、BE,則 BE 就是所求的最短距離.

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

在 Rt△ABE 中,

∵ AB = 5 , AE = 2 + 2 = 4 ,

中考數學“幾何最值的計算”題型解析

即 PA + PB 的最小值是 √41 .

【解題策略】本題考查了軸對稱——最短路線問題,三角形的面積,矩形的性質,勾股定理,

兩點之間線段最短的性質,得出動點 P 所在的位置是解題的關鍵 .

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